DISTRIBUSI BINOMIAL: Variabel Acak Binomial dan Distribusi Peluang Binomial

Salam Para Bintang

Setelah kalian memahami materi Konsep Variabel Acak, Distribusi Peluang Variabel Acak Diskrit dan Distribusi Peluang Kumulatif Variabel Acak Diskrit. 

Selanjutnya kita akan bahas materi tentang Distribusi Binomial

DISTRIBUSI BINOMIAL

1. Variabel Acak Binomial

Variabel acak binomial merupakan variabel acak yang nilai-nilainya ditentukan oleh hasil percobaan binomial. Beberapa syarat pada percobaan binomial (Percobaan Bernoulli) sebagai berikut: 

• Percobaan dilakukan berulang-ulang 
• Percobaan bersifat saling bebas atau dengan pengembalian. Hasil percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan yang lain 
• Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu kejadian yang diharapkan disebut sukses dan kejadian yang tidak diharapkan disebut gagal 
• Peluang setiap kejadian tetap dalam setiap percobaan

2. Distribusi Peluang Binomial

a. Fungsi Distribusi Binomial

Setiap percobaan memiliki dua macam kejadian yaitu sukses dan gagal. Oleh karena itu jumlah peluang kedua kejadian dalam setiap percobaan akan sama dengan satu karena nilai yang berimbang. Misalkan p menyatakan peluang kejadian sukses dan q menyatakan peluang kejadian gagal, maka hasil dari :

                                          p + q = 1 dan p = 1 - q atau q =1 - p

Distribusi peluang variabel acak binomial disebut distribusi binomial. Peluang suatu nilai variabel acak binomial dinamakan peluang binomial. Secara umum rumus peluang binomial x kejadian yang diharapkan dari 𝑛 percobaan binomial dinyatakan: 

                                 

Keterangan: 

𝐶(𝑛, 𝑥) = koefisien binomial 

x = banyaknya kejadian yang diharapkan dengan x = 0, 1, 2, .. n 

p = peluang kejadian yang diharapkan 

q = peluang kejadian yang tidak diharapkan

Contoh 1:

Gianluigi Buffon melakukan latihan tendangan penalti sebanyak 3 kali. Peluang sukses melakukan tendangan sebesar 4/5 . tentukan peluang Gianluigi Buffon  mencetak tepat dua gol.

Penyelesaian:

p = peluang sukses mencetak gol, maka p = 4/5 

q = peluang gagal mencetak gol, maka q = 1 – p = 1 – 4/5 = 1/5 

n = 3

x = 2

Dengan menggunakan rumus :

 

maka:

Contoh 2:

Andri mengerjakan 10 soal pilihan benar salah. Peluang Andri menjawab dengan benar sebanyak 6 soal adalah.....

Penyelesaian:

p = peluang benar, maka p = 1/2

q = peluang salah, maka q = 1 – p = 1 – 1/2 = 1/2

n = 10

x = 6

Dengan menggunakan rumus :

 

maka:

Contoh 3:

Setelah dilakukan penelitian bertahun-tahun terhadap hasil panen buah apel, diketahui dari setiap 1200 buah apel yang dipanen akan terdapat 120 buah apel  busuk. Jika diambil 4 buah apel secara acak, berapakah peluang ditemukannya:

a. tidak ada buah apel yang busuk

b.ada 1 buah apel yang busuk

c.ada 2 buah apel yang busuk

d.ada 3 buah apel yang busuk, dan

e.semua apel busuk

Penyelesaian:

Peluang ditemukannya buah apel yang busuk dari hasil panen adalah 120/1200 = 1/10

Dengan demikian:

p = peluang terambil apel yang busuk

q = peluang tidak terambil yang busuk

p = 1/10 dan q = 9/10

a. Peluang tidak ada apel yang busuk adalah b(x,n,p) untuk x = 0 dan n = 4:

Dengan menggunakan rumus :

 

b. Peluang ada 1 apel yang busuk adalah b(x,n,p) untuk x = 1 dan n = 4:

Dengan menggunakan rumus :

c. Peluang ada 2 apel yang busuk adalah b(x,n,p) untuk x = 2 dan n = 4:

Dengan menggunakan rumus :

d. Peluang ada 3 apel yang busuk adalah b(x,n,p) untuk x = 3 dan n = 4:

Dengan menggunakan rumus :

d. Peluang ada 4 apel yang busuk adalah b(x,n,p) untuk x = 4 dan n = 4:

Dengan menggunakan rumus :

Contoh 4:

Rara mengerjakan 10 soal pilihan benar salah. Peluang Rara menjawab dengan benar sebanyak 6 soal adalah · · · ·

Penyelesaian:

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Terdapat dua kejadian yang mungkin terjadi adalah menjawab soal dengan benar dan salah. 

Misalkan kejadian A adalah kejadian Rara menjawab soal dengan benar, sehingga

dengan demikian:

p = peluang benar

q = peluang salah

p = 1/12 dan q = 1/2

Peluang benar 6  ( x = 6) dari 10 soal adalah:

Dengan menggunakan rumus :

Contoh 5:

Sebuah perusahaan membutuhkan beberapa karyawan baru melalui tes seleksi karyawan. Dari seluruh peserta tes, hanya 40% yang lolos. Dari para peserta tes tersebut diambil sampel secara acak sebanyak 20 orang. Peluang sampel terdiri dari peserta lolos sebanyak 5 orang adalah · · · ·

(Informasi: (0, 4)⁵ = 0, 01024 dan (0, 6)¹⁵  = 0, 00047)

Penyelesaian:

Kasus ini tergolong kasus distribusi binomial. Terdapat dua kejadian yang mungkin terjadi adalah mendapatkan peserta tes yang lolos seleski dan peserta yang tidak lolos seleksi.

Dengan demikian:

p = peluang peserta lolos seleksi

q = peluang peserta tidak  lolos seleksi

p = 0,4 dan q = 0,6

Dengan menggunakan rumus :