Hubungan Dua Lingkaran : Kedudukan Dua Lingkaran dan Tali Busur Sekutu

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi tentang materi dasar untuk mempersiapkan diri di ujian UTBK, Ujian Sekolah, Ujian Masuk PTN lainnya. Materi ini adalah sangat muncul dalam berbagai soal-soal ujian yang diadakan apalgi mau masuk PTN. Jadi, sebelum kalian menyelesaikan soal-soal kedudukan dua lingkaran fungsi, maka pastinya pahami dulu materinya ya. Oke !  

A. Kedudukan Dua Lingkaran

Kedudukan dua lingkaran meninjukkan bagaimana posisi dari lingkaran pertama dengan lingkaran kedua. Hubungan (kedudukan) dua lingkaran terdiri atas empat kemungkinan yaitu:

1. Tidak Berpotongan, tetapi di luar sesamanya 

    Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, menunjukkan bahwa lingkaran  dengan jari-jari  dan lingkaran dengan jari-jari , dimana  > . Misalkan d = jarak pusat lingkaran  dan . 

            

           

Jadi, jika  maka lingkaran  dan  tidak berpotongan, tetapi di luar sesamanya.

2. Bersinggungan di luar

    Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas diperoleh, jika  =  + , maka lingkaran   dan lingkaran saling bersinggungan . 

3. Lingkaran yang satu di dalam lingkaran lainnya.

     Kedudukan Lingkaran yang satu di dalam lingkaran lainnya terdiri atas 3 jenis yaitu:

• Lingkaran pertama bersinggungan dengan lingkaran 2 di dalam
• Lingkaran pertama  dengan lingkaran 2  sepusat
• Lingkaran pertama tidak bersinggungan  dan tidak sepusat dengan lingkaran 2 

    Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran pertama bersinggungan dengan lingkaran 2 di dalam

Dari gambar di atas diperoleh lingkaran  dengan jari-jari  dan lingkaran  dengan jari-jari   sehingga: 

                       

                          

Jadi, jika  maka lingkaran pertama bersinggungan dengan lingkaran 2 di dalam
.

 Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran pertama tidak bersinggungan  dan tidak sepusat dengan lingkaran 2

Dari gambar di atas diperoleh lingkaran  dengan jari-jari  dan lingkaran  dengan jari-jari   sehingga: 

                       

                       

Jadi, jika  maka  Lingkaran pertama tidak bersinggungan  dan tidak sepusat dengan lingkaran 2

Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran pertama  dengan lingkaran 2  sepusat

Dari gambar di atas diperoleh lingkaran  dengan jari-jari  dan lingkaran  dengan jari-jari   sehingga: 

                       

                       

Jadi, jika  maka Lingkaran pertama  dengan lingkaran 2  sepusat

4. Lingkaran berpotongan dengan lingkaran 

Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas diperoleh lingkaran  dengan jari-jari  dan lingkaran  dengan jari-jari   sehingga: 

                       

Gambar di atas, disimpulkan bahwa:

•  dan 
• AB adalah tali busur sekutu
• Sentral  membagi dua tegak lurus tali busur AB
• garis tersebut adalah garis kuasa

                       

Jadi, jika  maka Lingkaran pertama  berpotongan dengan  lingkaran 2

Ingat, dalam menentukan jarak antara pusat lingkaran yaitu  , maka penting dipahamai jarak dua titik  yaitu:

Untuk memahami penjelasan di atas perhatikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Diketahui pusat lingkaran  adalah (2, 6) dengan panjang jari-jari 2 cm. Sedangkan koordinat pusat lingkaran  adalah (10, 0) dengan jari-jari 6 cm. Selidikilah kedudukan antara lingkaran  dan lingkaran !

Pembahasan:

Dari soal dapat dilihat apa saja yang diketahui yaitu:

 = 2   dan pusat L1 adalah (2,6)

 = 6  dan pusat L2 adalah (10,0)

sehingga dengan menggunakan konsep jarak dua titik, maka dapat ditentukan jarak kedua titik pusat Lingkaran yaitu d:

dan 

 

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh kesimpulan 10 > 8 atau  . 

Jadi, jika  maka lingkaran  dan  tidak berpotongan, tetapi di luar sesamanya (saling lepas)

Contoh 2:

Bagaimanakah kedudukan lingkaran x2 + y2 + 8x -4y – 5 = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0 ? 

Pembahasan: 

Dari persamaan L1 : x2 + y2 + 8x – 4y – 14 = 0 diperoleh pusat dan jari-jari lingkaran sebgai berikut: Pusat ( -4, 2) dan jari-jari = 5, dan dari persamaan L2 :  x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0  diperoleh pusat dan jari-jari yaitu : Pusat (-2,1) dan jari-jari 4

sehingga dengan menggunakan konsep jarak dua titik, maka dapat ditentukan jarak kedua titik pusat Lingkaran yaitu d:

dan ,  sehingga: 

Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh kesimpulan :  atau  .

Jadi, jika  maka lingkaran pertama  berpotongan dengan  lingkaran 2

B. Tali Busur Sekutu

Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran. Untuk memahami tali busur sekutu, maka coba lihat gambar di bawah ini:

Dengan memperhatikan gambar di atas, maka garis AB adalah tali busur sekutu dari lingkaran 1 dan lingkaran 2.

Jika diketahui:

maka persamaan tali busur sekutu AB adalah:

                         

Persamaan lingkaran yang melalui titik A dan B dapat dinyatakan sebagai:

                              

atau

                                           , 

dimana m adalah parameter

Untuk  memahami materi tali busur lihat contoh soalnya di sini: