Materi Kedudukan Garis dan Lingkaran beserta Contoh Soal

Salam para Bintang

Materi ini adalah satu materi dari Persamaan Lingkaran yang sangat perlu dipahami. Materi sangat sering keluar dalam ujian-ujian sekolah, dan Ujian Masuk PTN baik SBMPTN,SBMPN,UMPTKIN, Poltekkes dan PTN lainnya. Untuk lebih memahaminya, silahkan membaca dengan jelas dan perhatikan contoh soal-soalnya.

Kedudukan Garis dan Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran yaitu menyatakan posisi sebuah garis lurus terhadap suatu lingkaran dengan bentuk persamaan lingkaran baik dalam bentuk umum  , persamaan dengan pusat O(0,0)  dan dengan persamaan dengan pusat A(p,q) .

Kedudukan garis terhadap lingkaran terbagi menjadi tiga kondisi, yaitu :

a. garis memotong lingkaran di kedua titik berbeda 

b.garis menyinggung lingkaran di satu titik 

c. garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran

Kedudukan garis pada lingkaran dapat kita cari menggunakan nilai diskriminannya. Diskriminan dengan rumus:

                            

diambil dari persamaan kuadrat yang merupakan hasil substitusi dari persamaan garis dengan persamaan lingkarannya, misalnya: 

Kedudukan garis  dengan , maka dengan mensubsitusi  ke "y " pada  diperoleh:

 

 

Karena  merupakan persamaan kuadrat sehingga diperoleh:

Kemudian kita mensubsitusi nilai a, b dan c ke rumus Diskriminan (D).

Jika diperoleh nilai D sebagai berikut:

1. Jika   , maka a. garis memotong lingkaran di kedua titik berbeda 

2. Jika  garis menyinggung lingkaran di satu titik 

3. Jika  garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran

Untuk memahami konsep di kedudukan garis dengan lingkaran, mari perharikan contoh soal berikut:

Contoh 1:

Tentukan posisi garis y = 3x - 1 terhadap lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0!

Pembahasan:

Pertama, kita cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = 3x - 1 ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0, sehingga:

x2 + (3x - 1)2 + 2x + 2(3x - 1) - 4 = 0

x2 + 9x2 - 6x + 1 + 2x + 6x - 2 - 4 = 0

10x2 + 2x - 5 = 0

Setelah kita peroleh persamaan kuadratnya, kita cari nilai diskriminannya sebagai berikut:

10x2 + 2x - 5 = 0, 

a = 10, b = 2, c = -5.

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4(10)(-5)

D = 22 + 200 = 222 > 0

Karena nilai D> 0, maka garis y = 3x - 1 terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0.

Contoh 2:

Tentukan kedudukan garis x + y = 5 terhadap lingkaran x² + y² = 25 !

Pembahasan:

x + y = 5 kita ubah dulu menjadi y = 5-x
kita subtitusikan x = -y + 5 ke persamaan lingkaran x² + y² = 25
(x)² + (5-x)² = 25
x² + 25 -10x+ x² = 25
2x² – 10x = 0

Diperoleh a = 2 , b = – 10 ,c = 0 , kemudian menentukan nilai D

D = b²-4ac
D = (-10)² – 4.2.0
D = 100 – 0
D = 100 > 0

Karena nilai D = 100 maka D > 0 sehingga  kedudukan garis x + y = 5 terhadap lingkaran x² + y² = 25 adalah memotong lingkaran

Contoh 3:

Tentukan kedudukan garis 2x – y = – 5 terhadap lingkaran x² + y² – 2x + 3y + 1 = 0 !

Pembahasan:

Ubah 2x -y = -5 ke bentuk y = 2x + 5

Kemudian, subtitusikan y = 2x + 5  ke persamaan lingkaran x² + y² – 2x + 3y + 1 = 0. Sehingga diperoleh:

x² + (2x + 5)² – 2x + 3(2x + 5) + 1 = 0
x² + 4x² + 20x + 25 – 2x + 6x + 15 + 1 = 0
5x² + 24x + 41 = 0

Diperoleh: a = 5 dan b = 24  dan c = 41

Dengan menentukan nilai D, maka:
D = b²-4ac
D = 24² – 4.5.41
D = 576 – 820
D = – 244 < 0