Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap–Konsep Jarak garis dengan Garis--Bersilangan

Jibang P.Hutagaol,M.Pd October 06, 2020

Salam para Bintang

Halo semua pecinta pendidikan khususnya di bidang Matematika. Kali ini kita akan membahas materi lanjutan yaitu Jarak antara Garis dengan Garis yang saling bersilangan. Nah, bagaimana cara memahaminya? Sebelumnya masuk ke materi ini wajib kalian pahami yaitu:

1. Jarak Antara Titik dengan Titik
2. Jarak Antara Titik dengan Garis
3. Jarak Antara Titik dengan Bidang

Dua buah garis yang saling bersilangan memiliki dua kondisi yaitu saling tegak lurus dan tidak saling tegak lurus. Untuk lebih memahami kita lihat materi ini dan langkah-langkahnya:

- Jarak antara dua garis yang bersilangan tegak lurus

Gambar di samping adalah menyatakan dua buah garis bersilangan yaitu BG dan ED yang saling tegak lurus.

Bagaimana cara menentukan jarak antara BG dan ED?

Pertama kita menggambarkan bidang yang melalaui BG dan tegak lurus dengan DE

Dari gambar diperoleh bahwa bidang ABGH memotong ED di salah satu dan tegak lurus yaitu titik M

Jarak BG dengan DE dapat kita peroleh yaitu jarak antara titik M ke Garis BG yaitu MN

Secara umum,dapat ditentukan langkah-langkah menentukan jarak antara dua buah garis yang saling bersilangan tegak lurus:

Langkah -langkah menentukan jarak antara garis g dan garis k adalah:

Buat bidang W melaui garis l dan tegak lurus dengan garis k
Jika kita misalkan garis k memotong bidang w di titik K
Hubungkan titik K dengan titik M dan menjadi Jarak antara garis k dan l adalah ruas garis KM

- Jarak antara dua garis yang bersilangan tidak tegak lurus

Gambar di samping adalah menyatakan dua buah garis bersilangan yaitu BD dan CH yang saling tegak lurus.

Bagaimana cara menentukan jarak antara BD dan CH?

Sebelum kita menjawab permasalahan di atas, maka wajib kita pahami langkah-langkah dalam menentukan jarak dua buah garis yang bersilangan tidak tegak lurus.

Jika dua buah garis bersilangan tidak tegak lurus , maka yang dilakukan adalah:

Membuat/menentukan bidang yang melalui salah satu garis yang pertama dan sejajar dengan garis yang kedua
Memilih sembarang titik pada garis yang sejajar pada bidang tersebut (dalam hal ini garis kedua)
Membuat proyeksi dari titik pada garis kedua tersebut ke bidang yang melalui garis pertama
Proyeksi tersebut merupakan jarak antara dua buah garis bersilangan yang tidak tegak lurus

Nah, sekarang untuk memantapkan penggunaan teori di atas, maka kita akan membahas soal-soalnya ya:

Contoh 1:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, maka tentukanlah jarak antara:

a. garis AB dan CD

b.garis BE dan CH

c. garis EH dengan BC

Penyelesaian:

a. Jarak antara garis AB dan CD

Pertama kita gambarkan terlebih dahulu kubus ABCD.EFGH dan posisi garis AB dan CD

Kemudian kita menggambarkan bidang yang tegak lurus garis BC dan AD yaitu bidang BCGF atau bidang ADEH

Bidang BCFG memotong garis AB di titik B dan garis CD di titik C sehingga diperoleh ruas garis BC sebagai panjang antara garis AD dengan garis CD

Sehingga diperoleh panjang garis AB dan CD adalah 6 cm.

b. Jarak garis BE dan CH

Dari gambar diperoleh bahwa bidang yang tegak lurus dengan garis BE dan CH adalah bidang ABCD dan memotong di B dan C sehingga diperoleh ruas garis BE yang panjangnya adalah $6\sqrt{2}$

c. Jarak EH dan BC

Dari gambar diperoleh bahwa bidang yang tegak lurus dengangaris EF dan BC adalah bidang ABEF dan CDGH dan memtong di titik B dan E sehingga diperoleh ruas BE sebagai panjang garis BC dan EH dengan panjang adalah $6\sqrt{2}$

Contoh 2:

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm.

Penyelesaian:

Dengan membuat bidang yang melalui garis AS dan sejajar dengan DH maka kita gambarkan bidang ACEG yaitu:

Dengan mengambil titik H pada garis sejajar Bidang ACEG dan proyeksi H pada bidang ACGE adalah titik E sehingga diperoleh:

Titik S merupakan hasil pryeksi garis DH pada bidang ACGE sehingga diperoleh jarak DH ke AS adalah HS:

$HS= \frac{1}{2}\, \, HF,\, \, karena\, \, HF=6\sqrt{2}$

sehingga diperoleh:

$HS= \frac{1}{2}.6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

Contoh 3:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, jarak antara garis AB dan CF adalah....

Penyelesaian:

Dengan membuat bidang yang melalui garis EC dan sejajar garis AB maka, akan dbuat bidang CDEF sebagai berikut:

Dengan mengambil titik pada AB yaitu titik B, kemudian diproyeksikan ke bidang CDEF maka diperoleh:

Sehingga diperoleh jarak natar garis AB degan DE yaitu BN dengan panjang:

$BN= \frac{1}{2}.BG=\frac{1}{2}.12\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Contoh 4:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, jarak antara garis BG dan DE adalah....

Penyelesaian:

Dengan membuat bidang melalui BG dan sejajar dengan ED yaitu bidang BCFG

Dengan mengambil titik pada ED yaitu titik E dan memproyeksikannya ke bidang BCGF, maka hasil proyeksinya adalah titik F, sehingga diperoleh panjang ruas garis EF sebagai jarak kedua garis.

Sehingga diperoleh jarak antara ED dan BG adalah 12 cm.

Contoh 5:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, jarak antara garis CH dan BD adalah....

Penyelesaian:

Dengan membuat bidang melalui garis CH dan sejajar dengan BD yaitu bidang CFH yaitu:

Dengan mengambil titik sembarang pada garis BD yaitu titik tengah BD, kita misalkan titik M seperti pada gambar:

Karena garis BD dan dan garis CH adalah 2 garis bersilangan tidak saling tegak lurus, agar diperoleh jaraknya maka kita harus menggambar bidang ACGE sehingga kita peroleh proyeksi titik M pada bidang CFH di titik N seperti pada gambar berikut:

Dari gambar di atas diperoleh ruas garis MN merupakan jarak antar garis BD dengan garis CH yaitu dengan memperhatikan segitiga CMO yaitu:

Panjang MO = 4 cm dan MC adalah

$MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Sehingga diperoleh panjang OC dengan menggunakan rumus phytagoras:

$OC=\sqrt{OM^{2}+CM^{2}}$
$OC=\sqrt{4^{2}+\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}}$

maka :
$OC=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

Panjang ruas garis MN diperoleh dengan :

$MN=\frac{OM.CM}{OC}$
$MN=\frac{4.2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$
$MN=\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Jadi, jarak CH dan BD adalah $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Contoh 6:

Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk AB = 2 cm. AD = 2 cm, dan AE = 6 cm. Jika titik S terletak diantara C dan G dengan rasio CS : SG = 1 : 2, jarak garis AD dan ES adalah ....

Penyelesaian:

Dengan menggambar bidang yang melalui ES yaitu bidang EHSM seperti pada gambar berikut:

Dengan mengambi titik sembarang pada garis AD yaitu titik N di petengahan AD dan memproyeksikannya ke bidang EHSM maka"

Agar memudahkan kita,karena garis PQ sejajar dengan EM dengan mudah dapat kita ambil jarak garis AD ke garis ES adalah jarak dari titik A ke garis EM yaitu:

Sehingga dapat kita perhatikan segitiga AME dan dapat dihitung panjang ruas garis AO dengan cara:

Dengan menentukan masing-masing panjang ketiga sisi dari segitiga AEM, maka akan diperoleh panjang AO.

AE = 6 cm (sudah diketahui), AM diperoleh dengan memperhatikan segitiga ABM sehingga diperoleh panjang AM:

$AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Untuk menentukan panjang EM, kita memperhatikan segitiga siku-siku EFM dimana panjang EF = 2 dan panjang FM = 4, maka panjang EM diperoleh:

$EM=\sqrt{EF^{2}+FM^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Dengan menggunakan cara alternatif selain menggunakan aturan cosinus, kita peroleh panjang ruas garis AO:

Dari sketsa di atas diperoleh:
$\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}-x^{2}=6^{2}-\left ( 2\sqrt{5}-x \right )^{2}$
$8-x^{2}=36-\left ( 12-4\sqrt{5}x+x^{2} \right )$
$8-x^{2}=36-12+4\sqrt{5}x-x^{2}$
$4\sqrt{5}x=-16$
$x=\frac{-16}{4\sqrt{5}}=-\frac{4}{5}\sqrt{5}\, \, (panjang\, \, selalu \, \, positif)$

Jadi, panjang ruas garis AO dapat diperoleh:

$AO= \sqrt{\left ( 2\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \frac{4}{5}\sqrt{5} \right )^{2}}$
$AO= \sqrt{ 8 -\frac{16}{5}}$
$AO= \sqrt{ \frac{24}{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{30}$

Contoh 7:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, jarak antara garis BG dan CE adalah....

Penyelesaian: