Materi Persamaan Trigonometri Sinus, Kosinus dan Tangen beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Pada artikel ini saya kan menuliskan materi pelajaran untuk tingkat SMA dan boleh kalian download secara gratis. Saya memberikan materi beserta soal-soal mengenai Rumus-rumus Trigonometri. Materi ini biasanya muncul di kelas XI yaitu di Matematika Minat untuk Kurikulum 2013. Jadi, buat kalian yang ingin mempelajari materi ini silahkan di download langsung di sini.

Semoga ini bisa bermanfaat buat kalian semua, khususnya pelajar tingkat SMA baik kelas X, XI dan kelas XII. Materi ini juga bisa menjadi bahan buat adik-adik yang ingin mengambil dan ingin mengikuti Ujian Masuk PTN atau nama kerennya UTBK dan juga ujian Mandiri atau ujian-ujian masuk PTN lainnya.

Sekarang kita bahas dulu salah satu materi Trigonometri yaitu Persamaan Trigonometri. Simak dengan baik-baik.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang $0^{\circ}$ sampai dengan $360^{\circ}$ atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

A. Persamaan Trigonometri Sinus

$sin\, kx =sin\, \alpha$

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:

$kx=\alpha +n.360^{0}\, \, ;n=0,1,2,3,.....$

$kx=\left (180^{0}-\alpha \right ) +n.360^{0}\, \, ;n=0,1,2,3,.....$

Contoh 1:

$Tentukan \, \, penyelesaian \, \, persamaan \, \, sin\, \, x=\frac{1}{2}\sqrt{2},dalam \, \, interval\, \, 0\leq x\leq 2\pi$

Penyelesaian:

$Dari\, \, persamaan\, \, sin\, \, x=\frac{1}{2}\sqrt{2}\, \, maka:$

$sin\, \, x=sin\, 45^{0}\, \,$

maka:

$x= 45^{0}+n.360^{0}$

untuk:

$n=0\rightarrow x=45^{0}+0.360^{0}=45^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=45^{0}+1.360^{0}=405^{0}\rightarrow TM$

Sekarang kita gunakan rumus yang ke-2:

$x=\left ( 180^{0}-45^{0} \right )+n.360^{0}$

$x=135^{0}+n.360^{0}$

untuk:

$n=0\rightarrow x=135^{0}+0.360^{0}=135^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=135^{0}+1.360^{0}=495^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 45^{0},135^{0} \right \}$

Contoh 2:

$Himpunan \, \, penyelesaian\, \, dari\, \, persamaan\, \, sin(x-75)^{0}=\frac{1}{2}\sqrt{3},untuk\, \, 0^{0}\leq x\leq 360^{0}$

Penyelesaian:

$Dari\, \, persamaan\, \, sin(x-75)^{0}=\frac{1}{2}\sqrt{3},maka \, \, sin(x-75)^{0}=sin\, 60^{0}$

maka kita gunkan rumus yang pertama yaitu:

$(x-75)^{0}=60^{0}+n.360$

$x=135+n.360$

untuk:

$n=0\rightarrow x=135^{0}+0.360^{0}=135^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=135^{0}+1.360^{0}=495^{0}\rightarrow TM$

selanjutnya kita bahas rumus yang ke 2:

$x-75=\left ( 180-60 \right )^{0}+n.360^{0}$

$x=195^{0}+n.360^{0}$

untuk:

$n=0\rightarrow x=195^{0}+0.360^{0}=195^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=195^{0}+1.360^{0}=555^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 135^{0},195^{0} \right \}$

Contoh 3:

$Himpunan \, \, penyelesaian \, \, dari \, \, persamaan \, \, 4 \, sin(x-45)^{0}+\sqrt{2}=\sqrt{6},untuk\, \, 0\leq x\leq 360^{0}$

Penyelesaian:

$Dari \, \, persamaan \, \, 4 \, sin(x-45)^{0}+\sqrt{2}=\sqrt{6},dapat\, disederhanakan\, \, menjadi:$

$\, sin(x-45)^{0}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$ingat \, \, bahwa\, \, sin\, 15^{0}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},maka:$

$sehingga\, \, diperoleh:sin(x-45)=sin\, 15^{0}$

dengan menggunakan rumus pertama yaitu:

$x-45= 15^{0}+n.360^{0}$

$x= 60^{0}+n.360^{0}$

untuk:

$n=0\rightarrow x= 60^{0}+0.360^{0}=60^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x= 60^{0}+1.360^{0}=420^{0}\rightarrow TM$

selanjutnya kita gunakan rumus yang ke-2:

$(x-45)^{0}=\left ( 180-15 \right )+n.360$

$x=210^{0}+n.360^{0}$

$n=0\rightarrow x=210^{0}+0.360^{0}=210^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=210^{0}+1.360^{0}=570^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 60^{0},210^{0} \right \}$

B. Persamaan Trigonometri Cosinus

$cos\, \, kx=cos\, \, \alpha$

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:

$kx=\pm \, \alpha +n.360^{0}\, \, ;n=0,1,2,3,.....$

Contoh 4:

$Tentukan \, \, himpunan \, \, penyelesaian\, \, cos\, 2x = -\frac{1}{2}\sqrt{3},0\leq x\leq 360^{0}$

Penyelesaian:

$Dari\, \, persamaan cos\, 2x = -\frac{1}{2}\sqrt{3}, maka\, \, dapat \, \, dihitung \, \, bahwa:$

$cos\, 2x=cos\, 150^{0}$

dengan mengunakan rumus yang pertama:

$2x=150^{0}+k.360^{0}$

$x=75^{0}+n.180^{0}$

untuk:

$n=0\rightarrow x=75^{0}+0.180^{0}=75^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=75^{0}+1.180^{0}=225^{0}\rightarrow M$

$n=2\rightarrow x=75^{0}+2.180^{0}=435^{0}\rightarrow TM$

dengan mengunakan rumus yang ke-2:

$2x=-150^{0}+n.360^{0}$

$x=-75^{0}+n.180^{0}$

$n=0\rightarrow x=-75^{0}+0.180^{0}=-75^{0}\rightarrow TM$

$n=1\rightarrow x=-75^{0}+1.180^{0}=105^{0}\rightarrow M$

$n=2\rightarrow x=-75^{0}+2.180^{0}=285^{0}\rightarrow M$

$n=3\rightarrow x=-75^{0}+3.180^{0}=465^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas maka diperoleh Himpunan Penyesaian yaitu:

$\left \{ 75^{0},105^{0},2255^{0},285 \right \}$

Contoh 5:

$Himpunan \, \, penyelesaian \, \, dari \, \, persamaan\, \, cos\, \, 3x=\frac{1}{2},untuk \, \, 0\leq x\leq 180^{0}$

Penyelesaian:

$Dari \, \, persamaan\, \, cos\, \, 3x=\frac{1}{2}\,, dapat\, \, dihitung:$

$cos\, \, 3x=cos\, 60^{0}$

dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

$3x= 60^{0}+n.360^{0}$

$x= 20^{0}+n.120^{0}\rightarrow kedua\, \, ruas\, \, dibagi\, \, dengan\, \, 3$

untuk:

$n=0\rightarrow x= 20^{0}+0.120^{0}=20^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x= 20^{0}+1.120^{0}=140^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x= 20^{0}+2.120^{0}=260^{0}\rightarrow TM$

dengan menggunakan rumus ke dua:

$3x=-60^{0}+n.360^{0}$

$x=-20^{0}+n.120^{0}\rightarrow \, \, kedua \, \, ruas\, \, dibagi\, \, 3$

untuk:

$n=0\rightarrow x=-20^{0}+0.120^{0}=-20^{0}\rightarrow TM$

$n=1\rightarrow x=-20^{0}+1.120^{0}=100^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x=-20^{0}+2.120^{0}=220^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 20^{0},100^{0},140^{0} \right \}$

C. Persamaan Trigonometri Tangen

$tan\, kx=tan\, \alpha$

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:

$kx=\alpha +\, n.180^{0};\, n=0,1,2,3,.....dst$

Contoh 6:

$Tentukan \, \, himpunan \, \, penyelesaian \, \, tan \, 3x=-\sqrt{3},untuk\, \, 0^{0}\leq x\leq 360^{0}$

Penyelesaian:

$Dari \, \, persamaan \, \, tan \, 3x=-\sqrt{3},dihitung:$

$tan \, 3x=tan\, 120^{0}$

dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

$3x = 120^{0}+n.180^{0}$

$x = 40^{0}+n.60^{0} \rightarrow kedua\, \, ruas\, \, dibagi \, \, 3$

dengan menggunakan rumus diperoleh:

$n=0\rightarrow x = 40^{0}+0.60^{0}=40^{0}\rightarrow M$

$n=1\rightarrow x = 40^{0}+1.60^{0}=100^{0}\rightarrow M$

$n=2\rightarrow x = 40^{0}+2.60^{0}=160^{0}\rightarrow M$

$n=3\rightarrow x = 40^{0}+3.60^{0}=220^{0}\rightarrow M$

$n=4\rightarrow x = 40^{0}+4.60^{0}=280^{0}\rightarrow M$

$n=5\rightarrow x = 40^{0}+5.60^{0}=340^{0}\rightarrow M$

$n=6\rightarrow x = 40^{0}+6.60^{0}=400^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 40^{0},100^{0},160^{0},220^{^{0}},280^{0},340^{0} \right \}$

Contoh 7:

$Himpunan \: penyelesaian\: tan\, (x+60^{0})=1, untuk \: 0^{0}\leq x\leq 180^{0}$

Penyelesaian:

$Dari\: persamaan tan\, (x+60^{0})=1, dapat \: ditentukan \: bahwa:$

$tan\, (x+60^{0})=tan\,\, 45^{0}$

dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

$(x+60^{0})=45^{0}+n.180^{0}$

$x=-15^{0}+n.180^{0}$

dengan menggunakan rumus diperoleh:

$n=0\rightarrow x=-15^{0}+0.180^{0}=-15^{0}\rightarrow TM$

$n=1\rightarrow x=-15^{0}+1.180^{0}=165^{0}\rightarrow M$

$n=2\rightarrow x=-15^{0}+2.180^{0}=345^{0}\rightarrow TM$

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

$\left \{ 165^{0} \right \}$

Ingin Pintar dan lulus di SMA PLUS YASOP, SMA DEL dan Matauli. Khusus buat kelas XII yuk persiapkan diri untuk bisa lulus di UTBK 2021. Bimbelnya di star ed aja loh..... Hubungi : 0821-6557-6215

Baca Juga:

Materi Persamaan Trigonometri Sinus, Kosinus dan Tangen beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Leave a Comment

No comments

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS UTBK SNBT 2025

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA

Materi Persamaan Trigonometri Sinus, Kosinus dan Tangen beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Related Posts

Leave a Comment

No comments

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS UTBK SNBT 2025

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA