Rumus - Rumus Trigonometri : Rumus -Rumus Sudut Ganda - ruang para bintang : Berbagi informasi tentang PTN dan Pembahasan Soal-Soal

Salam Para Bintang

Kali ini, di artikel ini saya kan menuliskan materi pelajaran untuk tingkat SMA dan boleh kalian download secara gratis karena sudah saya buatkan dalam bentuk pdf. Saya memberikan materi beserta soal-soal mengenai Rumus-rumus Trigonometri. Materi ini biasanya muncul di kelas XI yaitu di Matematika Minat untuk Kurikulum 2013. Jadi, buat kalian yang ingin mempelajari materi ini silahkan di download langsung di sini.

Semoga ini bisa bermanfaat buat kalian semua, khususnya pelajar tingkat SMA baik kelas X, XI dan kelas XII. Materi ini juga bisa menjadi bahan buat adik-adik yang ingin mengambil dan ingin mengikuti Ujian Masuk PTN atau nama kerennya UTBK dan juga ujian Mandiri atau ujian-ujian masuk PTN lainnya.

Sekarang kita bahas materinya:

Rumus -Rumus Sudut Ganda

Untuk setiap sudut A berlaku rumus-rumus sin 2A, cos 2A dan tan 2A dan dalam pengembangannya masih banyak lagi rumus-rumus sudut ganda. Bagaimana cara membuktikan rumus tersebut?

Kuncinya, ingat rumus jumlah dan selisih sudut pada materi sebelumya

1.Rumus Sin 2A

Berdasarkan sin (A+B) diperoleh rumus sin 2A yaitu sebagai berikut:

$sin(A+B)=sinA\, \, cosB+cosA\, \, sinB$

$maka: sin\, \, 2A=sin(A+A)$

$maka: sin\, \, 2A=sin\, A\, \, cosA+cos\, A\, \, sin\, A$

$maka: sin\, \, 2A=2\, sin\, A\, \, cosA$

$Dapat \, \, disimpulkan \, \, bahwa :sin\, \, 2A=2\, sin\, A\, \, cosA$

Rumus perluasan sin 2A dapat kita tentukan sin 4A,sin 6A,sin 8A dll,sebagai berikut:

$sin \, \, n(A)=2\, \, sin \frac{n}{2}(A).cos\frac{n}{2}(A), n \, \, adalah \, \, konstan$

2.Rumus Cos 2A

Berdasarkan cos (A+B) diperoleh rumus cos 2A yaitu sebagai berikut:

$cos(A+B)=cos\, A\, \, cos\, B-sin\, A\, \, sin\, B$

$maka: \, \, cos(2A)=cos(A+A)$

$maka: \, \, cos(2A)=cos\, A\, cos\, A-sin\, A\, \, sin\, A$

$maka: \, \, cos(2A)=cos^{2}\, A\,-sin^{2}\, A\, \,$

$Dari \, \, rumus \, \, di\, \, atas \, \, dapat \, \, dimodifikasi \, \, untuk \, \, rumus\, \, cos \, 2A$

$Jika \, \, kita \, \, ingat \, \, identitas \, \, trigonometri \, \, yaitu: sin^{2}A+cos^{2}A=1$

$sin^{2}A=1-cos^{2}A \, \, dan \, \, cos^{2}A=1-sin^{2}A$

$maka: cos \, \, 2A=cos^{2}A-(1-cos^{2}A)$

$cos \, \, 2A=2cos^{2}A-1$

Untuk selanjutnya:

$sin^{2}A=1-cos^{2}A \, \, dan \, \, cos^{2}A=1-sin^{2}A$

$cos \, \, 2A=(1-sin^{2})-sin^{2}A$

$cos \, \, 2A=1-2sin^{2}A$

Satu lagi rumus dari cos 2A yang tidak boleh dilupakan yaitu:

$cos \, \, 2A=cos^{4}A-sin^{4}A$

3.Rumus Tan 2A

Berdasarkan tan (A+B) diperoleh rumus tan 2A yaitu sebagai berikut:

$tan(A+B)=\frac{tan\, A+tan\, B}{1-tan\, A.tan\, B}$

$maka: tan(A+A)=\frac{tan\, A+tan\, A}{1-tan\, A.tan\, A}$

$tan(2A)=\frac{2tan\, A}{1-tan^{2}\, A}$

Demikianlah saya tuliskan rumus-rumus sudut ganda,dan berikut contoh soalnya:

Contoh 1:

$Diketahui \, \, sin A=\frac{3}{5}, untuk \, \, A \, \, sudut \, \, tumpul. \, \, Tentukan:$

$a.sin\, \, 2A\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, b.cos\, \, 2A\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, c.tan\, \, 2A$

Penyelesaian:

$Dari\, \, sin\, A=\frac{3}{5},maka \, \, diperoleh\;:$

$karena:sin\, A=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$

$maka: sa=\sqrt{mi^{2}-de^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

$karena \, \, sudut \, \, A \, \, adalah \, \, tumpul \, \, maka\, \, dan\, \, nilai\, \, sin\, \, adalah \, \, positif\, \, maka\, \, A \, \, terletak\, \, kuadran\, \, II$

$maka cos A =-\frac{4}{5} \,\, dan \, \, tan A=-\frac{3}{4}$

$a.sin 2A=2\, \, sin\, A\, \, cos\, A=2\, \, (\frac{3}{5})(-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}$

$b.cos \, \, 2A=cos^{2}A-sin^{2}A=(-\frac{4}{5})^{2}-(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$

$c.tan \, \, 2A=\frac{2\,\, tan\, A}{1-tan^{2}A}=\frac{2\, (-\frac{3}{4})}{1-(-\frac{3}{4})^{2}}=\frac{-\frac{6}{8}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}}=-\frac{3}{4}.\frac{16}{7}=-\frac{12}{7}$

Baca Juga:

Contoh 2:

$Jika \, \, tan \, 2A=\frac{2p}{1-p^{2}}, maka \, \, sin\, 2A=.....$

$A.\, \, \frac{2p}{1+p^{2}}$

$B.\, \, \frac{2p}{(1+p^{2})^{2}}$

$C.\, \, \frac{p}{1-p^{2}}$

$D.\, \, \frac{p}{(1+p^{2})^{2}}$

$E.\, \, \frac{1}{(1+p^{2})}$

Penyelesaian:

$Dari \, \, tan\, 2A=\frac{2p}{1-p^{2}}=\frac{de}{sa}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{de^{2}+sa^{2}}=\sqrt{(2p)^{2}+(1-p^{2})^{2}}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{4p^{2}+(1-2p^{2}+p^{4})}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{p^{4}+2p^{2}+1}$

$mi=\sqrt{(p^{2}+1)^{2}}=p^{2}+1$

$Jadi, sin 2A = \frac{2p}{p^{2}+1}$

Contoh 3:

$Jika \, \, tan \, 2A= \frac{2m}{1-m^{2}},maka\, \, cos\, 2A=......$

$A.\, \, \frac{m}{m^{2}+1}$

$B.\, \, \frac{1-m^{2}}{m^{2}+1}$

$C.\, \, \frac{1+m^{2}}{m^{2}+1}$

$D.\, \, \frac{1+m}{m^{2}+1}$

$E.\, \, \frac{1+m}{m^{2}-1}$

Penyelesaian:

$Dari \, \, tan\, 2A=\frac{m}{1-m^{2}}=\frac{de}{sa}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{de^{2}+sa^{2}}=\sqrt{(2m)^{2}+(1-m^{2})^{2}}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{4m^{2}+(1-2m^{2}+m^{4})}$

$dapat \, \, ditentukan: mi=\sqrt{m^{4}+2m^{2}+1}$

$mi=\sqrt{(m^{2}+1)^{2}}=m^{2}+1$

$Jadi, cos 2A = \frac{1-m^{2}}{m^{2}+1}$

Contoh 4:

$Nilai \, \, dari \, \, (sin \, 15^{0}+cos\, 15^{0})(sin\, 15^{0}-cos\, 15^{0})=.......$

$A.-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$B.-\frac{1}{2}$

$C.\, \, \frac{1}{2}$

$D.\, \, \frac{1}{2}\sqrt{3}$

$E.\, \, \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Penyelesaian:

$(sin \, 15^{0}+cos\, 15^{0})(sin\, 15^{0}-cos\, 15^{0})=sin^{2}15-cos^{2}15$

$(sin \, 15^{0}+cos\, 15^{0})(sin\, 15^{0}-cos\, 15^{0})=-(cos^{2}15-sin^{2}15)$

$(sin \, 15^{0}+cos\, 15^{0})(sin\, 15^{0}-cos\, 15^{0})=-cos\, \, 2.(15^{0})$

$(sin \, 15^{0}+cos\, 15^{0})(sin\, 15^{0}-cos\, 15^{0})=-cos\, \,(30^{0})=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Contoh 5:

$Buktikan \, \, bahwa: cos^{4}x+sin^{4}x=\frac{1}{4}(3+cos4x)$

Penyelesaian:

$Langkah \, \, pertama: cos^{4}x+sin^{4}x=(cos^{2}x)^{2}+(sin^{2}x)^{2}$

$Mengingat \, \, rumus \, \, a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$

$cos^{4}x+sin^{4}x=(cos^{2}x+sin^{2}x)^{2}-2(sin^{2}x)(cos^{2}x)$

$cos^{4}x+sin^{4}x=1-\frac{1}{2}(4)(sin^{2}x)(cos^{2}x)$

$cos^{4}x+sin^{4}x=1-\frac{1}{2}(2sin\, x.cos\, x)^{2}$

$cos^{4}x+sin^{4}x=1-\frac{1}{2}(sin\,^{2} 2x)$

$Dengan \, \, mengingat \, \, rumus \, \, cos \, nx=1-2sin^{2}\frac{n}{2}x$

$cos^{4}x+sin^{4}x=1-\frac{1}{2}(\frac{1-cos\, 4x}{2})$

$cos^{4}x+sin^{4}x=1-\frac{1}{4}(1-cos\, 4x)$

$cos^{4}x+sin^{4}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos \, \, 4x$

$cos^{4}x+sin^{4}x=\frac{1}{4}(3+cos\, \, 4x)====Terbukti$

Contoh 6:

$Tunjukkan \, \, bahwa \, \, sin\frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} \, \, dan \, \, hitunglah \, \, nilai \, \, tan \frac{\pi }{8}!$

Penyelesaian:

Ingin Pintar dan lulus di SMA PLUS YASOP, SMA DEL dan Matauli. Khusus buat kelas XII yuk persiapkan diri untuk bisa lulus di UTBK 2021.

Bimbelnya di star ed aja loh.....

Hubungi : 0821-6557-6215

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

Pintar gak jaminan masuk di SMA Plus /Unggul perlu trik untuk menjawab soal. Bagaimana supaya kalian bisa dan siap untuk ujian? So pasti belajar tekun dan berlatih membahas soal. Ingat soal-soal masuk SMA Plus bukan sekedar materi SMP saja, Dalam ujian sudah terdapat materi SMA dan bahkan materi Olimpiade. Di siini kalian akan dilatih oleh pengajar profesional di bidangnya. Kalian akan dilatih soal-soal asli masu sma plus/unggulan. Silahkan join dari sekarang !! Hubungi Admin: 082163596296

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

Klik Gambar untuk Daftar Peserta Intensif !! Buat adik-adik yang ingin mempersiapkan diri untuk di POLTEKKES impian adik-adik semua di tahun 2023 ini.Ruang Para Bintang hadir untul membimbing adik-adik secara online. Kita akan membahas materi,soal asli dan soal prediksi tahun 2023.Silahkan bergabung dengan ruang para bintang.Pastikan adik-adik siap untuk SIMAMA POLTEKKES tahun 2023.Tidak ada kata tidak belajar.Mau lulus dengan Otomati pastinya membahas soal dengan Pengajar yang berpengalaman.Kalian akan dibimbing oleh pengajar (S-1 dan S-2) dari PTN.Kami tunggu adik-adik bergabung.Kami siap menghantar kalian ke Poltekkes impian kalian. Belajar 3 Pertemuan setiap minggu . Hubungi: 082163596296 (WA)

Rumus - Rumus Trigonometri : Rumus -Rumus Sudut Ganda

Leave a Comment

No comments

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS UTBK SNBT 2025

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA

Rumus - Rumus Trigonometri : Rumus -Rumus Sudut Ganda

Related Posts

Leave a Comment

No comments

BIMBEL ONLINE MASUK SMA UNGGUL 2025 (SMA DEL, YASOP, MATAULI, TARNUS, THAMRIN, PRADITA, LAB SCHOL

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS UTBK SNBT 2025

BIMBEL ONLINE FOKUS LULUS SIMAMA POLTEKKES 2024

AYO BERLANGGANAN DI RUANG PARA BINTANG

Fanpage Ruang Para Bintang

Anda Pengunjung ke-

ARTIKEL TERBAIK

Artikel Mingguan

KATEGORI PILIHAN

INFORMASI UTBK SBMPTN/SIMAMA POLTEKKES/UM-PTKIN/SBMPN POLITEKNIK

INFO KEDINASAN/TUTORIAL PENDIDIKAN

UNBK & INFO SMA